Rentabilité d'une petite entreprise de couture

Une assistance maternelle, en plus de son activité professionnelle, envisage d'installer une microentreprise de couture. Elle effectue au quotidien de nombreuses réalisations : ourlets, costumes, sacs, protections de plats, housses de coussin, diverses pochettes, vêtements, etc.

Elle établit un bilan financer mensuel en tenant compte :

• du coût des matières premières : tissus, fils, boutons, etc. ;
  
• du montant des ventes qu'elle aurait pu réaliser l'an passé.
  

Le coût de production \(C(n)\)  exprimé en euros pour  \(n\) articles est donné par la fonction  \(C\) avec :  \(C(n)=0,03n^2-2n+50\)  pour  \(n\) appartenant à l'intervalle [0 ; 150].

Le montant des ventes \(V(n)\)  exprimé en euros est donné par la fonction \(V\)  avec  \(V(n)=2n\)  pour \(n\) appartenant à l'intervalle [0 ; 150].

Le bénéfice noté  \(B(n)\)  est tel que  \(B(n)=V(n)-C(n)\) .

Problématique   À quelles conditions l'entreprise sera-t-elle rentable ?

1. Tracer la représentation graphique de chacune des trois fonctions avec la calculatrice ou GeoGebra. 

2. Construire le tableau de variations de chaque fonction sur l'intervalle d'étude. 

3. Pour quelle valeur de  \(n\)  le bénéfice sera-t-il maximal ? Préciser la valeur de ce bénéfice noté  \(B_{max}\) .

4. Donner l'intervalle des valeurs de  \(x\)  pour lesquelles :  \(f(x)< g(x)\) .

5. Répondre à la problématique à partir des réponses aux questions suivantes.

• Combien d'articles doit-elle vendre afin de réaliser le bénéfice maximal ?
  
• Quel est l'intervalle du nombre de ventes à réaliser afin de ne pas travailler à perte ?